雙曲線的焦點在x軸上時，我們知道，它的焦點有兩個，一個是(c，0)，另一個是(-c，0)，焦點到雙曲線上任一點的連線叫焦半徑，那么焦半徑的長怎么求呢？
我們知道，可以用兩點間距離公式結合韋達定理求解，也可以用雙曲線第二定義去求解，結果是e|x|+或-a。
分支
可以從圖像中看出，雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時，為左軸與右軸；當焦點在y軸上時，為上軸與下軸。
焦點
在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點，定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫（縱）坐標滿足c=a+b。a表示雙曲線右支的頂點位置 ,b表示虛軸的一半, c表示焦點位置。
準線
在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線。
離心率
在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。
離心率
雙曲線有兩個焦點，兩條準線。（注意：盡管定義2中只提到了一個焦點和一條準線，但是給定同側的一個焦點，一條準線以及離心率可以根據定義2同時得到雙曲線的兩支，而兩側的焦點，準線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。）
頂點
雙曲線和它的對稱軸有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點。
實軸
兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸，實軸長的一半稱為實半軸。
虛軸
在標準方程中令x=0，得y=-b，該方程無實根，為便于作圖，在y軸上畫出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2為虛軸。
定義1：
平面內，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數2a（小于這兩個定點間的距離）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離稱為焦距，用2c表示。
定義2：平面內，到給定一點及一直線的距離之比為常數e（e>1，即為雙曲線的離心率；定點不在定直線上）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線。
定義3：一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行也不通過圓錐面頂點，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。
定義4：在平面直角坐標系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0滿足以下條件時，其圖像為雙曲線。
1、A、B、C不都是零。
2、Δ=B2-4AC>0。
注：第2條可以推出第1條。
在高中的解析幾何中，學到的是雙曲線的中心在原點，圖像關于x，y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化為：.Ax+Cy+F=0
在x軸上的雙曲線為例：
a表示雙曲線右支的頂點位置
b表示虛軸的一半
c表示焦點位置
1.雙曲線(Hyperbola)，是指一動點移動于一個平面上，與平面上兩個定點的距離的差的絕對值始終為一定值時所成的軌跡叫做雙曲線。
2.第二定義:
平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數。定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線,常數e是雙曲線的離心率。
雙曲線式子是為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的實半軸。焦點位于貫穿軸上，它們的中間點叫做中心，中心一般位于原點處。在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位于平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連接的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似于兩個無限弓。雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。
1、作圓F1及圓上一點A，圓外一點F2。
2、連接AF2，并作AF2的垂直平分線l。
3、作直線AF1與l交于點P，追蹤點P。根據雙曲線的定義：|PF2-PF1|=PA-PF1=AF1=圓的半徑<F1F2，則點P的軌跡就是雙曲線。
4、選中點A，到菜單“編輯”-“操作類按鈕”-“動畫點”，點擊確定。
5、點擊動畫點按鈕，點A在圓上運動，點P就畫出了雙曲線。
6、如果同時追蹤垂直平分線l，動直線l就包絡出雙曲線。
所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上。
當然,X^2-Y^2=2表示等軸雙曲線. 相加時,系數相同是圓,系數不同時是橢圓設動點m,定點f,點m到定直線距離為d,稱集合{m| |mf|/d=e,e>1}表示的點集是雙曲線.注意:定點要在直線外；比值大于1.
一、曲率不同：
雙葉雙曲面的高斯曲率為正。 盡管它具有正曲率，但是具有另一適當選擇的度量的雙葉雙曲面也可以用作雙曲線幾何的模型。
單葉雙曲面的高斯曲率為負，兩片雙曲面的高斯曲率為正。 盡管它具有正曲率，但是具有另一適當選擇的度量的兩張雙曲面也可以用作雙曲線幾何的模型。
二、定義不同：
雙曲面是二次曲面，其可以被定義為三個變量中的二維多項式的點的集合的表面。 在二次曲面中，雙曲面的特征在于不僅具有對稱中心，而且讓平面和其相交還能形成錐體、柱體等。 雙曲面還具有三對垂直對稱軸和三對垂直對稱平面。
單葉雙曲面，也稱為雙曲面。 它是一個連接表面，每個點都具有負高斯曲率。 這意味著任何點處的切線平面與雙曲面相交成兩條線，因此單葉雙曲面是雙重曲面。，它具有兩片雙曲面，也稱為橢圓雙曲面。 表面有兩個連接的部件，每個點都有正高斯曲率。
參數：
雙葉雙曲面方程：可以定義雙曲面的笛卡爾坐標，類似于球面坐標，保持方位角θ∈[0,2π），但將傾斜度v變為雙曲線三角函數v∈（-∞，+∞）。
單葉雙曲面方程：可以定義雙曲面的笛卡爾坐標，類似于球面坐標，保持方位角θ∈[0,2π），但將傾斜度v變為雙曲線三角函數：單葉雙曲面：v∈（-∞，∞）。
擴展資料：
雙曲面的對稱性，雙曲面的方程
1、關于原點對稱。
2、關于坐標平面對稱。
3、在a = b（旋轉雙曲面）的情況下，與z軸旋轉對稱并對稱于包含z軸的任何平面。
單葉雙曲屬性
4、單葉雙曲面包含兩根線條，這是一個雙重曲面。在a = b的情況下，單葉雙曲面是旋轉表面，可以通過旋轉兩條線l+或l-，它們偏向旋轉軸。x(t)為：平面部分因為一般雙曲面是單葉雙曲面，它的結果也適用于一般情況 。
（1）斜率小于1的平面（1是雙曲面上的線的斜率）與 相交形成橢圓。
（2）斜率等于1的平面（包含原點）與相交形成一對平行線。
（3）斜率等于1的平面（不包含原點）與相交形成拋物線。
（4）斜率大于1的非切向平面與相交形成雙曲線。
不妨設雙曲線x＾2／a＾2-y＾2／b＾2＝1的右焦點F（c，0）到雙曲線的右支上點P的距離為d＝ⅠFPⅠ，則
d＾2＝（x-c）＾2＋y＾2
＝｛a＾2*（x-c）＾2＋b＾2*x＾2-a＾2*b＾2｝／a＾2
＝（c＾2*x＾2-2cxa＾2＋a＾4）／a＾2
＝（cx-a＾2）＾2／a＾2，由于x≥a，所以d＾2 ≥ （ca-a＾2）＾2／a＾2，即d≥c-a。
若點P在左支上，同理，d≥c＋a。
一、雙曲線的相關概念
焦點：雙曲線有兩個焦點。焦點的橫（縱）坐標滿足c=a+b。
離心率：給定點與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。離心率e=c/a
頂點：雙曲線和它的對稱軸有兩個交點,它們叫做雙曲線的頂點。
實軸：兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸,實軸長的一半稱為實半軸。
虛軸：在標準方程中令x=0,得y=-b，該方程無實根，為便于作圖，在y軸上畫出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2為虛軸.
漸近線：雙曲線有兩條漸近線。漸近線和雙曲線不相交。
焦點在x軸的漸近線：y=±b/a x
焦點在y軸的漸近線：y=±a/b x
二、雙曲線的標準方程：
①焦點在x軸上：x/a-y/b=1(a>0,b>0)
②焦點在y軸上：y/a-x/b=1(a>0,b>0)
根據雙曲線的定義，雙曲線上的一個點到兩焦點的距離之差的絕對值是定值，等于2a，即|PF1|-|PF2│|=2a，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。
三、雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。雙曲線這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用。
四、設點為M點，e為離心率。M點在左支上 ：MF1=ex+a（x為M點橫坐標）；MF2=ex-a。 M點在右支上：MF1=-(ex+a）；MF2=-(ex-a).
綜上所述，便可得出雙曲線的上的點到兩焦點的距離